Ball And Surface Arithmetics

Ball And Surface Arithmetics
by Rolf-Peter Holzapfel / / / PDF


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Bei hherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten stellt die Riemann-Roch-Theorie die grundlegende Verbindung von analytischen bzw. algebraischen zu topologischen Eigenschaften her. Dieses Buch befat sich mit Mannigfaltigkeiten der komplexen Dimension 2, d. h. mit komplexen Flchen. Hauptziel der Monographie ist es, neue rationale diskrete Invarianten (Hhen) in die Theorie komplexer Flchen explizit einzufhren und ihre Anwendbarkeit auf konkrete aktuelle Probleme darzustellen.Als erste unmittelbare Anwendung erhlt man explizit und ganz allgemein Formeln vom Hurwitz-Typ endlicher Flchenberlagerungen fr die vier klassischen Invarianten, die auf andere Weise bisher nur in Spezialfllen zugnglich waren. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Theorie der Picardschen Modulflchen: Neue Resultate werden beschrieben. Letztendlich kann im letzten Kapitel eine Ergnzung des bekannten Satzes von Bogomolov-Miyaoka-Yau mit Hilfe der Hhentheorie gezeigt werden. The monograph presents basically an arithmetic theory of orbital surfaces with cusp singularities. As main invariants orbital hights are introduced, not only for the surfaces but also for the components of orbital cycles. These invariants are rational numbers with nice functorial properties allowing precise formulas of Hurwitz type and a fine intersection theory for orbital cycles. For ball quotient surfaces they appear as volumes of fundamental domains. In the special case of Picard modular surfaces they are discovered by special value of Dirichlet L-series or higher Bernoulli numbers. As a central point of the monograph a general Proportionality Theorem in terms of orbital hights is proved. It yields a strong criterion to decide effectively whether a surface with given cycle supports a ball quotient structure being Kaehler-Einstein with negative constant holomorphic sectional curvature outside of this cycle. The theory is applied to the classification of Picard modular surfaces and to surfaces geography.

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